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21 – Il Professor Rosa e il cambio di variabile

21 vittoria grande baldoria!

L’euforia di questa frase non può essere catturata da nessuna equazione matematica. Immaginatevi di essere ai tavoli di blackjack dei più importanti casinò di Las Vegas e di continuare a vincere somme da capogiro. Rischio di perdita che tende allo zero, possibilità di guadagno che tende all’infinito. Sembra il concetto di limite in matematica, ma è la realtà. O almeno è la realtà di 21.

21 è una pellicola del 2008 diretta da Robert Luketic e che ospita, tra gli altri attori, Kevin Spacey – alias Professor Rosa – e Jim Sturgess, che interpreta il brillante studente del MIT Ben Campbell. Il film, basato su una storia vera, narra le gesta di un gruppo di studenti del MIT in giro per i casinò di Las Vegas, che, guidati dal loro professore di matematica, sbancano ripetutamente svariati casinò con il conteggio delle carte a blackjack.

Pur non toccando vette di epicità, 21 è un prodotto cinematografico che si lascia guardare piacevolmente. In particolare, c’è un frammento di narrazione che rimastomi impresso nella mente, mi scervellò per settimane: la scena del cambio di variabile.

Mattina inoltrata. Corso universitario di equazioni non lineari. Il professor Mickey Rosa pone ai suoi studenti un quesito, che chiama il problema del conduttore di quiz televisivo. È noto come il dilemma di Monty Hall.

Il punto di partenza è semplice. Ci sono tre porte. Dietro una delle tre porte si trova una Ferrari, dietro le altre due una semplice capra. Il concorrente vince il premio che trova dietro la porta che sceglie. Una possibilità su tre, tradotto in probabilità il 33,3%.

Ben, chiamato in causa dal carismatico professore, si presta a questo apparentemente banale capriccio dello stesso e sceglie la porta numero 2. Ed ecco che viene introdotta una variabile: il professore-conduttore – che sa cosa ogni porta nasconde – apre una delle due porte rimaste, dietro la quale si trova una capra, ed offre al concorrente di cambiare la sua scelta.

21

Cambiare scelta o non-cambiare-scelta sono entrambe scelte. Di più, sono due possibilità che si autoescludono vicendevolmente e questo, a rigor di logica, dovrebbe portare la probabilità sul 50 e 50. Dovrebbe cioè essere ininfluente ai fini probabilistici mantenere o meno la propria scelta. Sarebbe semmai determinante capire se il conduttore stia cercando di ingannarci proponendo lo scambio o se voglia appositamente lasciarcelo credere di modo che la nostra scelta non cambi. E così via, lungo la catena della psicologia inversa e della metapsicologia.

Ben cambia la sua scelta e sostiene che, così facendo, le probabilità di vincere una Ferrari giungono al 66,6%. Lo spazio della razionalità sembra dilatarsi, lasciando intravedere un bagliore indefinito, qualcosa che l’intuizione senza ragionamento non può afferrare. Una vera e propria epifania della logica, che però logica non sembra.

Lo so, è contro-intuitivo e, anche se può essere dimostrato a partire dal Teorema di Bayes, non c’è modo affinché non sembri tale. Però mettetevi l’anima in pace e fidatevi di questo meraviglioso risultato della teoria delle probabilità.

All’epoca non conoscevo alcun tipo di spiegazione alla quale aggrapparmi razionalmente, così decisi di fare delle prove, per vedere se effettivamente le probabilità tendevano al 66,6 e 33,3 percento oppure al 50 e 50. Per rendere tutto più facile, feci cento prove. Ogni volta effettuavo una scelta e, nelle veci anche del conduttore televisivo, spalancavo nell’immaginazione una seconda porta sicuramente non vincente. Infine, in balia di quello che sarebbe potuto sfociare in un disturbo dissociativo di identità, mi davo la possibilità di cambiare la scelta e, ogni volta, afferravo quella possibilità.

Per 61 volte vinsi la Ferrari e per le altre 39 mi appesantii con la proprietà di una capra. Seppur non rappresentasse una dimostrazione, questo bastò a convincermi della liceità di questo strano slittamento delle probabilità.

Ben Campbell, il protagonista di 21

Giustamente a voi poco importa delle mie peripezie passate, quindi proviamo a vedere questo problema sotto un altro punto di vista. Se il concorrente cambia la propria scelta, è come se avesse fatto due scelte nell’economia del gioco: prima una delle tre porte e poi, dopo l’apertura di una porta non vincente, l’ultima rimasta. Si tratta di capire che la scelta offerta dal conduttore nasconde implicitamente ambedue le porte rimaste, con la differenza che avviene dopo averne aperta una.

Prima di tutto va fatta attenzione su due premesse:

  • Il conduttore vi darà sempre la possibilità di effettuare una seconda scelta dopo aver aperto una delle due porte rimaste.
  • Il conduttore non può aprire la porta con la Ferrari – è ovvio – ma solo quella con una capra.

Primo tipo di ragionamento

Ora, immaginate che dopo la vostra scelta (ipotizziamo la porta B), prima di aprire una delle due porte rimaste (A e C), il conduttore vi offra subito la possibilità di cambiare la vostra scelta con entrambe le altre due. Considerate cioè che vi offra entrambe le altre scelte insieme in cambio della vostra. Dovrebbe essere chiaro a tutti che si tratterebbe di un regalo in termini di probabilità: 2/3 possibilità di vincere invece che 1/3.

Sarei un folle se rinunciassi a quel 66% in cambio del mio 33%. E non c’è attrito psicologico che tenga come contro-spiegazione perché, ricordate, il conduttore vi offrirà sempre la possibilità di cambiare la vostra scelta. È schiavo del problema stesso.

Tornando al problema originario, quando il conduttore spalanca una delle due porte rimaste e vi offre di cambiare la vostra scelta è esattamente la stessa cosa. L’unica differenza è che, prima scarta automaticamente la porta non vincente delle due che vi avrebbe proposto in cambio della vostra scelta, e dopo vi offre di cambiare quella rimasta con la vostra.

È come se vi avesse detto: “Tu hai scelto la porta B (33%), ma io ti offro in cambio sia la A sia la C (66%). Ora ti apro la A, dietro la quale so esserci una capra. Quindi se il premio fosse stato in A oppure in C, a questo punto sarebbe sicuramente in C. Che fai tieni la B o cambi con la C?”

Secondo tipo di ragionamento

Si può pensare a questo intrigo della logica anche in un altro modo. Le due premesse rimangono le stesse ovviamente, ma è possibile ragionare a ritroso.

Ragioniamo dunque a gioco finito. Poniamo che io scelga una porta e, dopo l’apertura di una delle due porte rimaste da parte del presentatore, sicuramente accetti la proposta di scambio. L’unico modo che ho di vincere è che la scelta iniziale – quella che cambierò – sia perdente.

Sostanzialmente, considerando la futura offerta del conduttore e la certezza del mio cambio-porta, se io scelgo una porta con dietro la capra ho vinto. Infatti il conduttore aprirà poi l’altra e mi offrirà di cambiare scelta. Se la mia porta nasconde una capra e l’altra capra si trova dietro quella aperta dal condutture, cambiando mi aggiudico la Ferrari. Stesso discorso ovviamente se scelgo l’altra porta non vincente. Quindi ho il 66% di fallire nel mio intento iniziale che, al netto della seconda scelta, quella di cambiare, diventa un 66% di successo.

Viceversa, se la prima scelta si rivelerà essere la Ferrari (ricordiamo che è una possibilità su tre, 33%), alloro cambiando la perderò. Ma nonostante abbia perso, le probabilità erano comunque a mio favore, perché trovare subito la Ferrari era meno probabile del contrario, esattamente la metà.

Il cambio di variabile è fondamentale, nella matematica così come nella vita. Un concetto che si evince anche dal film 21, quando un tipo di esperienza maturata indipendentemente dai suoi obiettivi permetterà a Ben di entrare alla scuola di medicina di Harvard.

Certamente le scelte che ci si trova ad affrontare nella vita non hanno questo carattere analitico e non sempre è possibile prevederne le conseguenze, specie quelle nel lungo termine. Però, pur non potendo calcolare ogni variabile possibile, tener conto di quelle che ricadono sotto la nostra visione intellettiva del mondo ritengo sia un buon modo di affrontare le avversità della vita.

21
Kevin Spacey, il Professor Rosa di 21

Leggi anche: Il Cavaliere Oscuro – Tra Dilemmi Morali e Teoria dei Giochi

Edoardo Waseschahttps://edoardowasescha.wordpress.com/
Laurea magistrale in Filosofia e Forme del Sapere. Aspirante giornalista. Nerd da prima che diventasse una moda. Amante di tutto ciò che fa esplodere la mente: dalla filosofia alla fisica quantistica, passando per la filmografia di David Lynch. Trova che scrivere sia l'unico modo per rallentare l'entropia dell'universo. Se poi un giorno - si spera non troppo lontano - sarà anche retribuito per farlo ancora meglio.

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